Un barco que se dirige al norte cruza un río ancho con una velocidad de 10 kmh en relación con el agua y tiene 5 kmh hacia el este ¿Cuál es la velocidad con respecto a un observador estacionario en tierra?

La velocidad del barco con respecto al observador terrestre estacionario se puede encontrar mediante la suma de vectores. Podemos representar la velocidad del barco en relación con el agua como un vector \(\overrightarrow{v_b}\) de magnitud 10 km/h en un ángulo de 0° (ya que el barco se dirige hacia el norte). La velocidad del agua con respecto al suelo se puede representar como un vector \(\overrightarrow{v_w}\) de magnitud 5 km/h en un ángulo de 90° (ya que el agua fluye hacia el este).

Para encontrar la velocidad del barco con respecto al suelo, sumamos los dos vectores:

$$\overrightarrow{v} =\overrightarrow{v_b} + \overrightarrow{v_w}$$

Usando la ley de los cosenos, podemos encontrar la magnitud del vector resultante:

$$v =\sqrt{v_b^2 + v_w^2 + 2v_bv_w\cos\theta}$$

donde \(\theta\) es el ángulo entre los dos vectores. Sustituyendo los valores dados obtenemos:

$$v =\sqrt{10^2 + 5^2 + 2(10)(5)\cos90°}$$

$$v =\sqrt{100 + 25 + 0}$$

$$v =\sqrt{125}$$

$$v =11,18 \text{ km/h}$$

Para encontrar el ángulo del vector resultante, podemos usar la ley de los senos:

$$\sin\theta =\frac{v_w\sin\theta}{v}$$

Sustituyendo los valores dados obtenemos:

$$\sin\theta =\frac{5\sin90°}{11.18}$$

$$\sin\theta =\frac{5}{11.18}$$

$$\theta =\sin^{-1}\left(\frac{5}{11.18}\right)$$

$$\theta =26,57°$$

Por lo tanto, la velocidad del barco con respecto al observador terrestre estacionario es 11,18 km/h en un ángulo de 26,57° al norte del este.